Question

有標(biāo)號為1、2、3、4、5、的五個紅球和標(biāo)號為1、2的兩個白球，將這七個球排出一排，使兩端都是紅球．
（1）如果每個白球的兩邊都是紅球，有多少種排法？
（2）如果1號紅球和1號白球相鄰排在一起，有多少種排法？
（3）同時滿足上述兩個條件的排法是多少種？

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：排列組合

分析：（1）利用抽空法，按照先特殊再一般的原則進(jìn)行排列即可．
（2）采用捆綁法把1號紅球和1號白球當(dāng)作一個元素要注意它本身的順序．
（3）結(jié)合（1）（2）的做法進(jìn)行排列即可．

解答： 解：（1）利用抽空法，先排5個紅球，再將2個白球插入到所形成的4個間隔（不包含兩端）中，故有

A

5 5

•

A

2 4

=1440種；
（2）把1號紅球和1號白球捆綁在一起，第一類，先排2個紅球在兩端，剩下2個紅球和2號白球以及復(fù)合元素（1號紅球和1號白球），進(jìn)行全排列，故有

A

2 2

•

A

2 4

•

A

4 4

=576種，
第二類，1號紅球排在兩端，先排列剩下4個紅球，再插入2號白球，故有

A

1 2

•

A

4 4

•

A

1 4

=192種，
根據(jù)分類計數(shù)原理，故有576+192=768種；
（3）把1號紅球和1號白球捆綁在一起，看作一個復(fù)合元素，
第一類，當(dāng)1號紅球排在兩端，先排列剩下4個紅球，再插入2號白球，且滿足每個白球的兩邊都是紅球，故有

A

1 2

•

A

4 4

•

A

1 3

=144種，
第二類，當(dāng)1號紅球排在不在兩端時，且不與2號白球相鄰，先排列剩下4個紅球，再插入復(fù)合元素和2號白球，故有

A

4 4

•

A

1 2

•

A

2 3

=288種，
第三類，當(dāng)1號紅球排在不在兩端時，且與2號白球相鄰，先把兩個白球捆綁在1號紅球兩邊看一個復(fù)合元素，插入到剩下4個紅球排列形成的三個間隔中，故有

A

2 2

•A

4 4

•

A

1 3

=144種，
根據(jù)分類計數(shù)原理，故有144+288+144=576種．

點評：本題考查了分類計數(shù)原理以及相鄰問題用捆綁，不相鄰問題用插空，關(guān)鍵是如何分類，屬于中檔題．