Question

過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)2x²-y²=3于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA與OB的斜率之和為1，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l為y=kx-1，代入雙曲線(xiàn)2x²-y²=3，消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式，計(jì)算即可得到k，進(jìn)而得到所求直線(xiàn)方程．

解答： 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l為y=kx-1，
代入雙曲線(xiàn)2x²-y²=3，可得（2-k²）x²+2kx-4=0，
判別式4k²+16（2-k²）＞0，解得-

2 6

3

＜k＜

2 6

3

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-2k

2-k2

，x₁x₂=

-4

2-k2

，
由直線(xiàn)OA與OB的斜率之和為1，
則

y1

x1

+

y2

x2

=1，
即

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=1，
即有2k-1=

x1+x2

x1x2

=

-2k

-4

，
解得k=

2

3

．
檢驗(yàn)k=

2

3

時(shí)，判別式大于0．
則有直線(xiàn)l的方程為y=

2

3

x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．