Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD=CD=1，DB=2

2

，PD=2．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：AC⊥平面PBD；
（3）求三棱錐B-ADE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=F，連接EF，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，從而PA∥EF，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由等腰三角形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得PD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．
（3）由V_B-ADE=V_E-ABD，利用等積法能求出三棱錐B-ADE的體積．

解答： （1）證明：如圖，設(shè)AC∩BD=F，連接EF，
∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴F為AC的中點(diǎn)，
又∵E為PC的中點(diǎn)，∴EF為△PAC的中位線，
∴PA∥EF，
又∵EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，且PD?平面PBD、BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD．
（3）解：∵AD⊥CD，AD=CD=1，∴AC=

2

，
由（1）知F為AC中點(diǎn)，∴AF=

2

2

，
由（2）知AF⊥BD，∴S_△ABD=

1

2

BD•AF=

1

2

×2

2

×

2

2

=1，
又∵PD⊥平面ABCD，PD=2，E為PC中點(diǎn)，
∴E到平面ABD的距離為h=

1

2

PD=1，
∴V_B-ADE=V_E-ABD=

1

3

S△ABD•h=

1

3

×1×1=

1

3

，
∴三棱錐B-ADE的體積為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用．