如圖,直四棱ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,P、O分別是上、下底面的中心,點E是AB的中點,AB=kAA1
(Ⅰ)求證:A1E∥平面PBC:
(Ⅱ)當(dāng)k=
2
時,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值:
(Ⅲ)當(dāng)k取何值時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?
考點:直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面PBC的法向量,根據(jù)
A1E
•n=0,判斷線面平行.
(Ⅱ)利用向量的夾角公式直接求得直線PA與平面PBC所成角的余弦值,然后根據(jù)平方關(guān)系求得正弦值.
(Ⅲ)表示出重心G的坐標(biāo),利用射影定理求得k.
解答:
解:以O(shè)點為原點,直線OA,OB,OP所在直線為x,y和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2
2
,
則A1(2,0,
2
2
K
),E(1,1,0)、P(0,0,
2
2
k
),B1(0,2,0),C(-2,0,0),
(Ⅰ)由上得
A1E
=(-1,-1,
2
2
k
),
BC
=(-2,-2,0)
PB
=(0,2,-
2
2
k
),
設(shè)平面PBC的法向量為n=(1,α,β),
則由
n
BC
=0
n
PB
=0
,得
-2-2α=0
2α-
7
2
k
β=0

∴n=(1,-1,-
2
2
k).
A1E
•n=0,A1E?平面PBC,
∴A1E∥平面PBC.
(?)當(dāng)k=
2
時,由Ⅰ知平面PBC的法向量為n=(1,-1,-1),
cos<
PA
,n>=
PA
n
|
PA
|•|
n
|
=
6
3

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為
6
3

(Ⅲ)△PBC重心G(-
2
3
,
2
3
,
2
2
3k
),
OG
=(-
2
3
,
2
3
2
2
3k
),
GO在平面PBC的射影恰為△PBC的重心,
OG
BC
=0
OG
PB
=0
,解得k=
2

故k=
2
時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰為△PBC的重心.
點評:本題主要考查了線面平行的判定,法向量在立體幾何中的應(yīng)用.考查了學(xué)生分析和推理能力.
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a
x
-3lnx.
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4-3
2-1
,向量
α
=
7
5

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α

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(an+1)2
4
,bn=
1
(n+1)n
,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(Ⅱ)求證:(an+1)bn
1
nn-1
;
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在區(qū)間D上,如果函數(shù)f(x)為增函數(shù),而函數(shù)
1
x
f(x)也是增函數(shù),則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“和諧”函數(shù).已知函數(shù)f(x)=1-
1
x

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
4
9
4
]上是否為“和諧”函數(shù);
(Ⅱ)若P是函數(shù)f(x)圖象上的任一點,求點P到直線x-2y=0的最短距離;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[
1
4
9
4
]時,不等式1-ax≤
1
x
≤1+2ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
1
(n+1)log2an
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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2
5
x-
π
4
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