已知函數(shù)f(x)=ax+
a
x
-3lnx.
(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若f(x)在[2,e]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=2x+
2
x
-3lnx,定義域為(0,+∞),f′(x)=
2x2-3x-2
x2
,令f′(x)=0,求出單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值;
(2)由于f′(x)=a-
a
x2
-
3
x
,所以由題意知,f′(x)≥0在[2,e]上恒成立,得a≥
3x
x2-1
.令g(x)=
3x
x2-1
,而g(x)=
-3-3x2
(x2-1)2
,當(dāng)x∈[2,e]時g′(x)<0,得g(x)在[2,e]上遞減,故g(x)在[2,e]上的最大值為g(2)=2,因此要使a≥
3x
x2-1
恒成立,應(yīng)有a≥2.
解答: 解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=2x+
2
x
-3lnx,定義域為(0,+∞),
∴f′(x)=
2x2-3x-2
x2
,令f′(x)=0,得x=2(x=-
1
2
舍去),
當(dāng)x變化時,f(x),f′(x)的變化情況如下表:
x(0,2)2(2,+∞)
f′(x)-0+
f(x)遞減極小值遞增
所以函數(shù)f(x)在x=2時取得極小值,同時也是函數(shù)在定義域上的最小值f(2)=5-3ln2.
(2)由于f′(x)=a-
a
x2
-
3
x
,所以由題意知,f′(x)≥0在[2,e]上恒成立.
∴ax2-3x-a≥0在[2,e]上恒成立,即a≥
3x
x2-1

令g(x)=
3x
x2-1
,而g(x)=
-3-3x2
(x2-1)2
,當(dāng)x∈[2,e]時g′(x)<0,
∴g(x)在[2,e]上遞減,故g(x)在[2,e]上的最大值為g(2)=2,
因此要使a≥
3x
x2-1
恒成立,應(yīng)有a≥2.
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
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已知F1,F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的兩個焦點,PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦,如果∠PF2Q=90°,則雙曲線的離心率( 。
A、2
2
-2
B、1+
2
C、1+
2
D、2+2
2

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x+2
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m
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3
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n
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m
n
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cos2B-sin2B
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1
e
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2a
21
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1
3
an-1+
2
3n-1
.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=3n-1an(n∈N*
(Ⅰ)證明:{bn}為等差數(shù)列,并求{bn}的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn,是否存在正整數(shù)m,n使得
Sn-m
Sn+1-m
3m
3m+1
成立?若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(m,n);若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)求證:A1E∥平面PBC:
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2
時,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值:
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