Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=3^n-1a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)m，n使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明{b_n}為等差數(shù)列，即可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{

an

n

}的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和為S_n，將不等式恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3⁰a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，在a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

的兩邊同乘以3^n-1得，3^n-1a_n=

1

3

×3^n-1a_n-1+

2

3n-1

×3^n-1，
得3^n-1a_n=3^n-2a_n-1+2，
即b_n-b_n-1=2，（n≥2），
即{b_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2，
則{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=3^n-1a_n=2n，故

an

n

=

2

3n-1

，
∴數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和為S_n=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3（1-

1

3n

），
則

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

，
∵

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，得

2

(3-m)•3n-1

＞

1

3m+1

，
∴（3-m）•3^m-1＞0，
∵m是正整數(shù)，∴m=1，2，
當(dāng)m=1時(shí)，

1

2•3n-1

＞

1

4

，解得n=1，
當(dāng)m=2時(shí)，

2

3n-1

＞

1

10

，解得n=1，2．
綜上存在所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的判斷和通項(xiàng)公式的求解，以及不等式恒成立的證明，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用．