已知矩陣M=
4-3
2-1
,向量
α
=
7
5

(Ⅰ)求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量;
(Ⅱ)求M3
α
考點:特征值與特征向量的計算
專題:選作題,矩陣和變換
分析:(Ⅰ)根據(jù)特征值的定義列出特征多項式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量.
(Ⅱ)
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2
,即可求M3
α
解答: 解:(Ⅰ)矩陣M的特征多項式為f(λ)=(λ-1)(λ-2),
令f(λ)=0,可求得特征值為λ1=1,λ2=2,
設λ1=1對應的一個特征向量為α=
x
y

則由λ1α=Mα,得-3x+3y=0,可令x=1,則y=-1,
所以矩陣M的一個特征值λ1=1對應的一個特征向量為
1
1
,
同理可得矩陣M的一個特征值λ2=2對應的一個特征向量為
3
2

(Ⅱ)
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2

所以M3
α
=
1
1
+2×23×
3
2
=
49
33
點評:本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角,向量
m
=(-1,
3
),
n
=(cosA,sinA),且
m
n
=1,
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3,求cosC.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,已知a1=2,當n≥2時,an=
1
3
an-1+
2
3n-1
.數(shù)列{bn}滿足bn=3n-1an(n∈N*
(Ⅰ)證明:{bn}為等差數(shù)列,并求{bn}的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn,是否存在正整數(shù)m,n使得
Sn-m
Sn+1-m
3m
3m+1
成立?若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(m,n);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知(
x
+
2
x2
n的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是10:1,求展開式中:
(1)含x-1的項;
(2)系數(shù)最大的項.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求下列函數(shù)的導數(shù)
(1)y=
1
x
•cosx;
(2)y=x•lnx.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(an+2,Sn+1)在直線y=4x-5上,其中n∈N*,令bn=an+1-2an,且 a1=1.
(1)求{bn}的通項公式;
(2)若存在數(shù)列{Cn}滿足等式:bn=
C1
1
+
C2
2
+
C3
3
+…+
Cn
n
(n∈N*),求{Cn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,直四棱ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,P、O分別是上、下底面的中心,點E是AB的中點,AB=kAA1
(Ⅰ)求證:A1E∥平面PBC:
(Ⅱ)當k=
2
時,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值:
(Ⅲ)當k取何值時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),x∈D,若存在x1、x2∈D,對任意的x∈D,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則稱f(x)為“幅度函數(shù)”,其中f(x2)-f(x1)稱為f(x)在D上的“幅度”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=
3-2x-x2
是否為“幅度函數(shù)”,如果是,寫出其“幅度”;
(2)已知x(y-1)-2n-1y+2n=0(x∈Z,n為正整數(shù)),記y關(guān)于x的函數(shù)的“幅度”為bn,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
(3)在(2)的條件下,令g(n)=lg
2
bn+1
+lg
2
bn+2
+…+lg
2
b2n
,求g(n)的表達式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,點A1在平面ABC上的射影為AC的中點D,AC=2,BB1=3,則AB1與底面ABC所成角的正切值為
 

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