已知矩陣M=
4-3
2-1
，向量
α
=
7
5

（Ⅰ）求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量；
（Ⅱ）求M3
α
．
考點：特征值與特征向量的計算
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（Ⅰ）根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（Ⅱ）
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2
，即可求M3
α
．
解答： 解：（Ⅰ）矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ1=1，λ2=2，
設λ1=1對應的一個特征向量為α=
x
y
，
則由λ1α=Mα，得-3x+3y=0，可令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的一個特征值λ1=1對應的一個特征向量為
1
1
，
同理可得矩陣M的一個特征值λ2=2對應的一個特征向量為
3
2
．
（Ⅱ）
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2

所以M3
α
=
1
1
+2×23×
3
2
=
49
33
．
點評：本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，向量
m
=（-1，
3
），
n
=（cosA，sinA），且
m
•
n
=1，
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求cosC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，已知a1=2，當n≥2時，an=
1
3
an-1+
2
3n-1
．數(shù)列{bn}滿足bn=3n-1an（n∈N*）
（Ⅰ）證明：{bn}為等差數(shù)列，并求{bn}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)m，n使得
Sn-m
Sn+1-m
＜
3m
3m+1
成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（
x
+
2
x2
）n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是10：1，求展開式中：
（1）含x-1的項；
（2）系數(shù)最大的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的導數(shù)
（1）y=
1
x
•cosx；
（2）y=x•lnx．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點（an+2，Sn+1）在直線y=4x-5上，其中n∈N*，令bn=an+1-2an，且 a1=1．
（1）求{bn}的通項公式；
（2）若存在數(shù)列{Cn}滿足等式：bn=
C1
1
+
C2
2
+
C3
3
+…+
Cn
n
（n∈N*），求{Cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直四棱ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，P、O分別是上、下底面的中心，點E是AB的中點，AB=kAA1．
（Ⅰ）求證：A1E∥平面PBC：
（Ⅱ）當k=
2
時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值：
（Ⅲ）當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），x∈D，若存在x1、x2∈D，對任意的x∈D，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則稱f（x）為“幅度函數(shù)”，其中f（x2）-f（x1）稱為f（x）在D上的“幅度”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=
3-2x-x2
是否為“幅度函數(shù)”，如果是，寫出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2n-1y+2n=0（x∈Z，n為正整數(shù)），記y關(guān)于x的函數(shù)的“幅度”為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（3）在（2）的條件下，令g（n）=lg
2
bn+1
+lg
2
bn+2
+…+lg
2
b2n
，求g（n）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，點A1在平面ABC上的射影為AC的中點D，AC=2，BB1=3，則AB1與底面ABC所成角的正切值為
 
．

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