Question

對于函數(shù)f（x），x∈D，若存在x₁、x₂∈D，對任意的x∈D，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則稱f（x）為“幅度函數(shù)”，其中f（x₂）-f（x₁）稱為f（x）在D上的“幅度”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=

3-2x-x2

是否為“幅度函數(shù)”，如果是，寫出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2^n-1y+2ⁿ=0（x∈Z，n為正整數(shù)），記y關于x的函數(shù)的“幅度”為b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）在（2）的條件下，令g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

，求g（n）的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,對數(shù)的運算性質,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“幅度函數(shù)”的定義可得結論；
（2）確定f（x）在（-∞，2^n-1）單調(diào)遞增，在（2^n-1，+∞）單調(diào)遞減，可得函數(shù)的最值，從而可求y的“幅度”，即可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解．

解答： 解：（1）f(x)=

-(x+1)2+4

（-3≤x≤1）
∴0≤f（x）≤2（3分）
∴是“幅度函數(shù)”，其“幅度”為2                  （5分）
（2）y=1+

2n-1-2n

x-2n-1

（x∈Z，n∈N^*）
∵f（x）在（-∞，2^n-1）單調(diào)遞增，在（2^n-1，+∞）單調(diào)遞減       （7分）
∴當x=2^n-1-1時，ymax=2n-1+1
當x=2^n-1+1時，ymin=-2n-1+1
∴y的“幅度”bn=2n（9分）
∴Sn=2n+1-2（11分）
（3）g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

=[n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)]lg

1

2

=

n[n+(2n-1)]

2

lg

1

2

=n2(

3

2

-

1

2n

)lg

1

2

點評：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，正確理解新定義是關鍵．