Question

某公司今年年初用36萬(wàn)元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬(wàn)元．同時(shí)，公司每年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用，第一年各種費(fèi)用2萬(wàn)元，第二年各種費(fèi)用4萬(wàn)元，以后每年各種費(fèi)用都增加2萬(wàn)元．
（1）引進(jìn)這種設(shè)備后，第幾年后該公司開(kāi)始獲利；
（2）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f（n），f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36，由此能夠求出引進(jìn)這種設(shè)備后，第2年末的收益與支出恰好相等，故從第3年起該公司開(kāi)始獲利．
（2）年平均收益為

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．由此能夠求出這種設(shè)備使用6年，該公司的年平均收益最大．

解答： 解：（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f（n），
則f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-20n+36＜0，
解得：2＜n＜18，
∵n∈N，
∴第2年末的收益與支出恰好相等，故從第3年起該公司開(kāi)始獲利．…（6分）
（2）年平均收益為：

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時(shí)，

f(n)

n

取得最大值．
即這種設(shè)備使用6年，該公司的年平均收益最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運(yùn)用．