Question

對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面；
②若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；
③分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)；
④最長棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：①假設(shè)相對(duì)棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾，說明①正確；
②舉特例說明②錯(cuò)誤；
③由對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的連線是平行四邊形判斷；
④不妨設(shè)AB為最長棱，分類討論（i）當(dāng)AC≥BD時(shí)，在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，可判斷（ii）當(dāng)AC＜BD時(shí)，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，可判斷．

解答： 解：①假設(shè)相對(duì)棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾，故①正確；
②當(dāng)四面體的面ABC和ABD全等時(shí)，兩條高所在的直線共面，命題②錯(cuò)誤；
③對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的連線是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，命題③正確；
④不妨設(shè)AB為最長棱，（i）當(dāng)AC≥BD時(shí)，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，則AD+AC≥AD+BD＞AB；
（ii）當(dāng)AC＜BD時(shí)，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，則DB+BC＞BC+AC＞AB．
故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線，三垂線定理，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力邏輯思維能力，屬于中檔題．