【題目】已知一個正四面體紙盒的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為的正方形，若在該正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值是_____.

【答案】

【解析】

由一個正四面體紙盒的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為的正方形，

則正四面體的棱長，設(shè)此球的一個內(nèi)接正方體的棱長為a，則，即可得答案.

由一個正四面體紙盒的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為的正方形，

則正四面體的棱長.

先求出此正四面體的內(nèi)切球，再求出此球的一個內(nèi)接正方體即可.

設(shè)此正四面體的應(yīng)該內(nèi)切球的半徑為r，則4r S底面hS底面.

∴r.

作AO⊥底面BCD，垂足為O點，O為底面正三角形的中心.

AO2，∴r，

設(shè)此球的一個內(nèi)接正方體的棱長為a，則，解得.

故答案為：.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中， 分別是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若三棱柱的體積為4，求異面直線與夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形.若，且與底面所成角的正切值為.

（1）證明：平面平面；

（2）是線段上一點，記，是否存在實數(shù)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，三棱錐中，點在以為直徑的圓上，平面平面，點在線段上，且，，，，點為的重心，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

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【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）

經(jīng)常網(wǎng)購

偶爾或不用網(wǎng)購

合計

男性

50

100

女性

70

100

合計

（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)？

（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差．

參考公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若對任意的，都有恒成立，求a的取值范圍；

（3）函數(shù)的圖像上是否存在兩點，且，使得直線AB的斜率k滿足：？若存在，求出與之間的關(guān)系；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知橢圓：經(jīng)過兩點，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，且直線與以線段為直徑的圓交于另一點（異于點），若，求直線的斜率.

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【題目】2017年3月鄭州市被國務(wù)院確定為全國46個生活垃圾分類處理試點城市之一，此后由鄭州市城市管理局起草公開征求意見，經(jīng)專家論證，多次組織修改完善，數(shù)易其稿，最終形成《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》（以下簡稱《辦法》）．《辦法》已于2019年9月26日被鄭州市人民政府第35次常務(wù)會議審議通過，并于2019年12月1日開始施行．《辦法》中將鄭州市生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類．為了獲悉高中學(xué)生對垃圾分類的了解情況，某中學(xué)設(shè)計了一份調(diào)查問卷，500名學(xué)生參加測試，從中隨機抽取了100名學(xué)生問卷，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)不低于60的概率；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，

（3）學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會決定組織同學(xué)們利用課余時間分批參加“垃圾分類，我在實踐”活動，以增強學(xué)生的環(huán)保意識．首次活動從樣本中問卷成績低于40分的學(xué)生中隨機抽取2人參加，已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的5名學(xué)生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同學(xué)各1人的概率是多少？

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