Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為，且過點(diǎn)M。

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

（1）（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）用橢圓的定義可求，根據(jù)焦距和可求；也可將點(diǎn)代入設(shè)出的橢圓方程解方程組求。（2）用點(diǎn)差法求直線的斜率，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，直線與橢圓的焦點(diǎn)即為所求點(diǎn)。

試題解析：（1）（方法一）依題意，設(shè)橢圓方程為， 1分

則， 2分

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，所以

=4 4分

5分

橢圓的方程為 6分

（方法二）依題意，設(shè)橢圓方程為， 1分

則，即，解之得 5分

橢圓C的方程為 6分

（2）如圖

（方法一）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則 7分

① ②

①-②，得,

9分

設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為

聯(lián)立方程組，消去整理得

由判別式得 12分

由圖知，當(dāng)時(shí)，與橢圓的切點(diǎn)為，此時(shí)

的面積最大

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為 14分

（方法二）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，

消去整理得

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

所以直線AB的方程為，即 9分（以下同法一）

考點(diǎn)：1橢圓方程；2點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題；3數(shù)形結(jié)合。