Question

【題目】一士兵要在一個半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)檢查是否埋有地雷，他所用的檢查儀器的有效作用范圍的半徑為．求該士兵從該圓邊界上一點出發(fā)，至少需走多少米才能將區(qū)域檢測完，且回到出發(fā)點?

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求士兵從出發(fā)，將圓的邊界上的所有點檢測完回到的最短路徑．

下面用反證法證明：

（1）上任意兩點連線段在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界），即是凸的；

（2）與圓內(nèi)部無交點．

（1）否則，設(shè)、，且線段在所圍區(qū)域外（如圖）．

用線段代替中、間的曲線，得到另一條封閉曲線．

則曲線在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界）．

對圓邊界上任一點，設(shè)士兵在上的點處檢測，則．

取線段與的交點為，則．

故士兵沿也可以將圓的邊界上所有點檢測．

但的長度小于的長度，矛盾．

（2）否則，設(shè)、，中、之間的曲線在圓內(nèi)部（如圖）．

過圓心作交圓于點，其中，與曲線在直線同側(cè)．

設(shè)線段與圓交于點．

由的凸性知，曲線與的其余部分在直線兩側(cè)．

則，

即士兵沿無法檢測點，矛盾．

由（1），（2）知是含點且將圓包含在內(nèi)部的封閉曲線．

則的長度的最小值為（將想成套在圓上的繩子，當(dāng)從點拉緊繩子時，得到繩子的最短長度為）．

易證當(dāng)時，士兵可沿將圓內(nèi)所有點檢測．