Question

【題目】已知從有限個(gè)平面向量構(gòu)成的集合中任取三個(gè)元素，其中總存在兩個(gè)元素，使得.試求中元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】7

【解析】

所求中元素個(gè)數(shù)的最大值為7.

設(shè)點(diǎn)、、是平面上任意三點(diǎn)，考慮7元集合，它顯然滿足條件.下面證明：中的元素不能多于7個(gè).

當(dāng)中的元素全部共線時(shí)，將所有元素的起點(diǎn)移至同一點(diǎn)，作一條與所有元素平行的直線并作出中所有元素在直線上的投影，于是，中的所有向量均對(duì)應(yīng)以中元素的共同起點(diǎn)在上的投影為原點(diǎn)，直線的任意取定一個(gè)方向?yàn)檎�方向的�?shù)軸上的坐標(biāo).從而，問題可轉(zhuǎn)化為求與原題對(duì)應(yīng)的數(shù)集問題（由二維轉(zhuǎn)化為一維）.

接下來證明：該數(shù)集中至多有7個(gè)元素.

首先證明：該數(shù)集中最多有3個(gè)正數(shù).假設(shè)可能有不少于4個(gè)的元素是正數(shù)，其中，最大的4個(gè)數(shù)分別為、、、，且.

事實(shí)上，，所以，和數(shù).而大于的元素只有一個(gè)，卻有，于是，在集合或中，至少有一個(gè)集合的任意兩個(gè)元素之和不在中.這與已知矛盾，故該數(shù)集中最多有3個(gè)正數(shù).同理，該數(shù)集中最多有3個(gè)負(fù)數(shù).加上一個(gè)0，從而，數(shù)集中至多有7個(gè)元素.

當(dāng)中的元素不全共線時(shí)，將所有元素的起點(diǎn)移至同一點(diǎn)，由的有限性知可作出平面直角坐標(biāo)系，使得中的元素均不與坐標(biāo)軸平行.

下面證明：上半平面內(nèi)至多有3個(gè)元素.

首先證明：上半平面的所有元素全不共線.假設(shè)上半平面內(nèi)存在中的元素與共線，則可取與和夾角最小的元素.考慮集合，由的取法，知和均不在中（兩向量的和向量在這兩個(gè)向量之間）.于是，中存在，使得，從而，與、共線.考慮集合，類似上面的討論，知中存在與、共線.如此討論下去，知中存在無窮多個(gè)元素與、共線，矛盾.故上半平面的所有元素全不共線.

其次證明：上半平面內(nèi)至多有3個(gè)元素.假設(shè)在上半平面內(nèi)有不少于4個(gè)元素，按逆時(shí)針方向順次取其中4個(gè)相鄰元素、、、.考慮集合，則有；考慮集合，則有.從而，，即.這與、同在上半平面內(nèi)矛盾，故上半平面內(nèi)至多有3個(gè)元素.同理，下半平面內(nèi)至多有3個(gè)元素.加上零向量，從而，集合中至多有7個(gè)元素.

綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為7.