Question

如果正四棱錐的對角線和側(cè)面所形成的角為30°，底面邊長為a，則它的體積是

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：作圖如下，取AB的中點E，連結(jié)OE、SE，作OF⊥SE于點F，連結(jié)BF，可證明∠FBO=30°，從而可得OF=

2

4

a，從而可求得∠SEO=45°，則SO=OE=

a

2

，從而求得其體積．

解答： 解：作圖如右圖，
取AB的中點E，連結(jié)OE、SE，
作OF⊥SE于點F，連結(jié)BF，
∵SO⊥AB，OE⊥AB，
∴AB⊥平面SOE，
又∵OF?平面SOE，
∴AB⊥OF，
又∵OF⊥SE，
∴OF⊥平面SAB，
則∠FBO=30°，
∴OF=

1

2

OB=

1

2

×

2

2

a=

2

4

a，
在Rt△FOE中，又∵OE=

a

2

，
故∠SEO=45°，
故SO=OE=

a

2

，
故其體積為V=

1

3

×a²×

1

2

×a=

a3

6

．
故答案為：

a3

6

．

點評：本題考查了學生的作圖能力及體積的求法，屬于中檔題．