Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．

(Ⅰ)計算a2，a3，a4的值；

(Ⅱ)根據(jù)計算結果猜想{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a2＝2＋，a3＝2＋，a4＝4.(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用，代入計算，可得結論；(Ⅱ)由(Ⅰ)根據(jù)前四項的公共規(guī)律，猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明時命題也成立即可.

試題解析：(Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，

a4＝2＋＝4.

(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.

以下用數(shù)學歸納法證明：

(1)當n＝1時，左邊a1＝3，右邊2＋1＝3，符合結論；

(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時，結論成立，即ak＝2＋，

那么ak＋1＝＋2

＝＋2

＝＋2＝＋2，

所以當n＝k＋1時，猜想也成立，

根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對于任意n∈N*都成立．