Question

【題目】已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均不相同，a1＝1，定義，其中n，k∈N*．

（1）若，求；

（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)對(duì)均成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．

（i）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比數(shù)列，求k和t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k＝2，t＝3．

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由新定義可得，利用累加法可得結(jié)果；

（2）（i）若bn＋1(k)＝2bn(k)對(duì)均成立，由新定義可得，從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．因?yàn)?/span>S1，Sk－S1，St－Sk成等比數(shù)列，

可得2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1對(duì)k分類討論可知k和t的值．

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

（2）（i）因?yàn)?/span>bn＋1(k)＝2bn(k)，

得 ，

令k＝1, ，……………①

k＝2，，……………②

由①得，……………③

②+③得，……………④

①+④得，

又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以．

（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．

因?yàn)?/span>S1，Sk－S1，St－Sk成等比數(shù)列，

所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，

所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．

由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．

當(dāng)k＝2時(shí)，2t＝8，得t＝3．

當(dāng)k≥3時(shí)，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1為奇數(shù)，

所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此時(shí)k無(wú)正整數(shù)解．

綜上，k＝2，t＝3．