Question

9．某公司為感謝全體員工的辛勤勞動，決定在年終答謝會上，通過摸球方式對全公司1000位員工進行現(xiàn)金抽獎．規(guī)定：每位員工從裝有4個相同質(zhì)地球的袋子中一次性隨機摸出2個球，這4個球上分別標有數(shù)字a、b、c、d，摸出來的兩個球上的數(shù)字之和為該員工所獲的獎勵額X（單位：元）．公司擬定了以下三個數(shù)字方案：

方案	a	b	c	d
一	100	100	100	500
二	100	100	500	500
三	200	200	400	400

（Ⅰ）如果采取方案一，求X=200的概率；
（Ⅱ）分別計算方案二、方案三的平均數(shù)$\overline{X}$和方差s²，如果要求員工所獲的獎勵額相對均衡，方案二和方案三選擇哪個更好？
（Ⅲ）在投票選擇方案二還是方案三時，公司按性別分層抽取100名員工進行統(tǒng)計，得到如下不完整的2×2列聯(lián)表．請將該表補充完整，并判斷能否有90%的把握認為“選擇方案二或方案三與性別有關”？

	方案二	方案三	合計
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合計	18	82	100

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05
k0	2.072	2.706	3.841

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定基本事件的個數(shù)，即可求X=200的概率；
（Ⅱ）求出相應的方差，即可得出結論；
（Ⅲ）計算K²，與臨界值比較，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）從a、b、c、d中取兩個，共有ab、ac、ad、bc、bd、cd 這6個基本事件…（1分）
采取方案一，設X=200為事件A，它包含ab、ac、bc這3個基本事件
由于每個基本事件都是等可能的，所以$P（A）=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$…（3分）
（Ⅱ）依題意，求數(shù)據(jù)ab、ac、ad、bc、bd、cd的平均數(shù)$\overline{X}$和方差s²．${\overline{X}}_{2}=\frac{200+600+600+600+600+1000}{6}=600$，…（4分）${s}_{2}^{2}=\frac{1}{6}[{（200-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（1000-600）}^{2}]=\frac{160000}{3}$，…（5分）
${\overline{X}}_{3}=\frac{400+600+600+600+600+800}{6}=600$，…（6分）${s}_{3}^{2}=\frac{1}{6}[{（400-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（600-600）}^{2}+{（800-600）}^{2}]=\frac{40000}{3}$，…（7分）
${\overline{X}}_{2}={\overline{X}}_{3}$，${s}_{2}^{2}＞{s}_{3}^{2}$，方案三的方差較小，相對均衡，選擇方案三較好．…（8分）
（Ⅲ）

	二	三	合計
男性	12	48	60
女性	6	34	40
合計	18	82	100

…（9分）
直接計算得，${K}^{2}=\frac{100{（12×34-6×48）}^{2}}{60×40×18×82}≈0.407$，K²＜2.706，…（11分）
所以不能以（1-P（K²≥2.706））×100%=90%的把握認為選擇方案二或三與性別有關．…（12分）

點評 本題考查概率的計算，考查統(tǒng)計知識，考查獨立性檢驗知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．