Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點F₁的坐標為（-

3

，0），F(xiàn)₂是它的右焦點，點M是橢圓C上一點，△MF₁F₂的周長等于4+2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點P（0，2）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且OA⊥OB（其中O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c= 3 2a+2c=4+2 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由此利用根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、向量知識，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點F₁的坐標為（-

3

，0），
F₂是它的右焦點，點M是橢圓C上一點，△MF₁F₂的周長等于4+2

3

，
∴

c= 3 2a+2c=4+2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
△=（-16k）²-48（1+4k²）＞0，
由根與系數(shù)關(guān)系得x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁•x₂=

12

1+4k2

，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
∴

12(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，
解得k=±2，
∴直線l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、向量知識的合理運用．