如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

 

（1）＝1.（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由題意知b＝＝.

因?yàn)殡x心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①

直線QN的方程為y＝x＋2.②

(證法1)聯(lián)立①②解得x＝，y＝，即T.

由＝1可得＝8－4.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719473678078471/SYS201411171947390620260286_DA/SYS201411171947390620260286_DA.018.png">

＝＝1，所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．

(證法2)設(shè)T(x，y)．聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719473678078471/SYS201411171947390620260286_DA/SYS201411171947390620260286_DA.022.png">＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．

 

練習(xí)冊系列答案
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在(x－)10的展開式中，x6的系數(shù)是________．

 

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雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長為12，離心率為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________.

 

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設(shè)A、B分別為橢圓＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x＝4是它的右準(zhǔn)線．

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線BP與橢圓相交于兩點(diǎn)B、N，求證：∠NAP為銳角．

 

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