分析 (1)連接E,F(xiàn),由E,F(xiàn)分別為AC,CD的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線定理可得EF∥AD,再由線面平行的判定可得EF∥平面ABD;
(2)由已知求解三角形可得AB⊥BC,結(jié)合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD,取BC中點(diǎn)G,過點(diǎn)G作BF的垂線GH,點(diǎn)H為垂足,則∠EHG為二面角E-BF-C的平面角,求解直角三角形得答案.
解答 (1)證明:連接E,F(xiàn),
∵E,F(xiàn)分別為AC,CD的中點(diǎn),∴EF∥AD,
又AD?平面ADB,EF?平面ADB,∴EF∥面ABD;
(2)解:取BC中點(diǎn)G,過點(diǎn)G作BF的垂線GH,點(diǎn)H為垂足,
∵AB=4,AC=4$\sqrt{2}$,∠ACB=45°,
∴由AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos45°,得16=32+BC2-8BC,即BC=4.
∴AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,且平面ABC∩平面BCD=BC,
∴AB⊥平面BCD,則EG⊥平面BCD,EG⊥BF,
又GH⊥BF,∴BF⊥平面EGH,則BF⊥EH,即∠EHG為二面角E-BF-C的平面角.
∵BD=4,BC=4,CD=$4\sqrt{3}$,∴BF=$\sqrt{{4}^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=2$.
則∠CBF=60°,∴GH=2×$sin60°=\sqrt{3}$.
Rt△EGH中,$sin∠EHG=\frac{EG}{GH}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查了二面角求法,正確找出二面角的平面角是關(guān)鍵,是中檔題.
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