9.已知橢圓$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$,動直線$l:y=\frac{3}{2}x+m$
(1)若動直線l與橢圓C相交,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當動直線l與橢圓C相交時,證明:這些直線被橢圓截得的線段的中點都在直線3x+2y=0上.

分析 (1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由判別式大于0求得實數(shù)m的取值范圍;
(2)由(1)中的方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得直線l被橢圓所截線段中點的坐標,代入直線3x+2y=0成立,說明直線被橢圓截得的線段的中點都在直線3x+2y=0上.

解答 (1)解:將$y=\frac{3}{2}x+m$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$,整理得:9x2+6mx+2m2-18=0,
由△=36m2-36(2m2-18)=-36m2+36×18>0,
解得$-3\sqrt{2}<m<3\sqrt{2}$,
∴實數(shù)m的取值范圍是($-3\sqrt{2},3\sqrt{2}$);
(2)證明:設(shè)直線l與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知${x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{3}$,
∴${y_1}+{y_2}=\frac{3}{2}({x_1}+{x_2})+2m=m$,
故線段AB的中點$M(-\frac{m}{3},\frac{m}{2})$,
代入直線3x+2y=0,可得3×$(-\frac{m}{3})+2×\frac{m}{2}=0$.
∴直線被橢圓截得的線段的中點都在直線3x+2y=0上.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.

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