Question

【題目】設(shè)a∈R，f（x）= 為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+2x﹣ ﹣1的零點；
（2）設(shè)g（x）=2log2（ ），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在區(qū)間[ ， ]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)

∴f（0）=0

∴a=1，f（x）=

F（x）= =

由22x+2x﹣6=0=0，可得2x=2，所以，x=1，

即F（x）的零點為x=1

（2）解：f﹣1（x）= ，在區(qū)間[ ]上，由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，

∴ 恒成立，即 恒成立

即k2≤1﹣x2，x∈[ ]，

∴ ，k＞0，

所以0＜k≤

【解析】由f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，可求a，進而可求f（x）（1）令F（x）=0可求函數(shù)F（x）的零點（2）由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，可得 恒成立，可得k2≤1﹣x2 ， x∈[ ]恒成立，只要k2≤（1﹣x2）min即可求解
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的零點的相關(guān)知識點，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點，函數(shù)有零點才能正確解答此題．