Question

【題目】[2018·石家莊一檢]已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）分別求得和，由點(diǎn)斜式可得切線方程；

（2）由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根，，進(jìn)而再求導(dǎo)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而得證.

試題解析：

（1）由已知條件，，當(dāng)時(shí)，，

，當(dāng)時(shí)，，所以所求切線方程為

（2）由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根，，

令，則，

1）若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩根；

2）若，

令得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

令解得，

由有，

由有，

從而時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表

	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

．

另解：由已知可得，則，令，

則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

若有兩個(gè)根，則可得，

當(dāng)時(shí)， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以．