Question

已知函數f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：首先對三角函數式進行恒等變換，變換成正弦型函數，進一步求出值域，然后根據函數的恒成立問題求得m的范圍．

解答： 解：已知函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x+1=2sin(2x-

π

3

)+1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2

3

π]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴f(x)min=2×

1

2

+1=2，f（x）_max=2×1+1=3．
∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，∴-2＜f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立．
因為f（x）在[

π

4

，

π

2

]上的最小值是2，最大值是3，
∴1＜m＜4．

點評：本題考查的知識點：三角函數式的恒等變換，正弦型函數的性質，根據自變量的范圍求三角函數的值域，恒成立問題及相關的運算．