Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦分別與橢圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意結(jié)合解出，后，即可得解；

（2）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程得，，由化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得直線方程為，由直線過(guò)定點(diǎn)即可得點(diǎn)到直線距離的最大值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，求出n后即可得點(diǎn)到直線的距離；即可得解.

（1）由題意，得，結(jié)合，得，，

所以橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

代入橢圓方程，整理得，

由得，

設(shè)，，則，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

即，

其中，

，

代入整理得，即，

當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合題意；

所以，此時(shí)滿足，

則直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)到直線的最大距離；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，由，，

代入可得，

結(jié)合可得或（舍去），

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，

綜上，點(diǎn)到直線的最大距離為.