Question

若橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁（-

13

，0），F(xiàn)₂（

13

，0），橢圓的長(zhǎng)軸等于雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)P是兩條曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且∠F₁PF₂=120°，則PF₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得c=

13

，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a₁，雙曲線的實(shí)軸為2a₂，則a₁=2a₂，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，可得PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，由余弦定理可得a₂=2，a₁=4，即可得到所求值．

解答： 解：由題意可得c=

13

，
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a₁，雙曲線的實(shí)軸為2a₂，
則a₁=2a₂，
由橢圓的定義可得，PF₁+PF₂=2a₁，
由雙曲線的定義可得，PF₁-PF₂=2a₂，
則有PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，
再由余弦定理可得，F(xiàn)₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cos120°，
即有4×13=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²+（a₁+a₂）（a₁-a₂），
即為3a₁²+a₂²=52，則13a₂²=52，解得，a₂=2，a₁=4，
則有PF₁=a₁+a₂=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．