Question

設(shè)函數(shù)f(x) ＝x³－6x＋5，xR.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)已知當(dāng)x(1，＋)時(shí)，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f '(x)＝3x²－6，令f '(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.
因?yàn)楫?dāng)x>或x<－時(shí)，f '(x)>0；
當(dāng)－<x<時(shí)，f '(x)<0.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，－)和(，＋)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)．
當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)有極大值5＋4；
當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，
當(dāng)5－4<a<5＋4時(shí)，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，
即方程f(x)＝a有三個(gè)不同的解．
(3)f(x)≥k (x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．
因?yàn)?EM>x>1，所以kx²＋x－5在(1，＋)上恒成立．
令g(x)＝x²＋x－5，此函數(shù)在(1，＋)上是增函數(shù)．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范圍是k－3.