Question

已知點P（-2，-3）和以Q為圓心的圓（x-4）²+（y-2）²=9．
（1）求以PQ為直徑，Q′為圓心的圓的方程；
（2）以Q為圓心的圓和以Q′為圓心的圓的兩個交點A，B，直線PA，PB是以Q為圓心的圓的切線嗎？為什么？
（3）求直線AB的方程．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）由圓（x-4）²+（y-2）²=9可得圓心Q（4，2）．線段PQ的中點Q′（1，-

1

2

），|PQ′|=

32+( 5 2 )2

=

61

2

．即可得出．
（2）由于∠PAQ是以PQ為直徑的圓周角，可得∠PAQ=90°．因此直線PA是以Q為圓心的圓的切線．
同理PB是以Q為圓心的圓的切線．
（3）由于交點A，B既在圓（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圓(x-1)2+(y+

1

2

)2=

61

4

上．兩方程相減即可得出直線AB的方程．

解答： 解：（1）由圓（x-4）²+（y-2）²=9可得圓心Q（4，2）．
∴線段PQ的中點Q′（1，-

1

2

），|PQ′|=

32+( 5 2 )2

=

61

2

．
∴以PQ為直徑，Q′為圓心的圓的方程為(x-1)2+(y+

1

2

)2=

61

4

．
（2）∵∠PAQ是以PQ為直徑的圓周角，∴∠PAQ=90°．
∴直線PA是以Q為圓心的圓的切線．
同理PB是以Q為圓心的圓的切線．
（3）由于交點A，B既在圓（x-4）²+（y-2）²=9上，又在圓(x-1)2+(y+

1

2

)2=

61

4

上．
兩方程相減可得：6x+5y=25，即為直線AB的方程．

點評：本題考查了圓的標準方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、兩圓相交的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．