如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各邊長度確定，故可利用勾股定理證明垂直關(guān)系
，進而由線面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)方法一（向量法）：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，再表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，再求面的法向量和直線的方向向量，其夾角余弦值的絕對值即直線和平面所成角的正弦值；方法二（綜合法）：過點作于,則易證平面,所以為直線與平面所成的角，進而在求角.
試題解析：(Ⅰ)由翻折不變性可知,,, 在中,,所以，在圖中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)方法一:以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,
,,所以,,, 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得，令,得,設(shè)直線與平面所成角為,則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
方法二:過點作于,由(Ⅰ)知平面,而平面，所以,又,平面,平面,所以平面,所以為直線與平面所成的角. 在中, ，在中,由等面積公式得，在中,，所以直線與平面所成角的正弦值為.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別是、中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，分別為的中點.

（1）求證：EF∥平面;
（2）若平面平面，且，º，求證：平面平面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=.

(Ⅰ)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設(shè)，分別為，中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面;
（Ⅲ）試問在線段上是否存在點，使得過三點 ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，菱形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，

(1)求證：平面BDE；
(2)求銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖的幾何體中，平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題：
①若，，則；          ②若，，則；
③若，，，則；  ④若，則.
其中真命題是_      __.（寫出所有真命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是(　　)
A．①③B．①④C．②③D．②④

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