Question

已知函數f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），有下列五個命題：
①不論a，b為什么值，函數y=f（x）的圖象關于原點對稱；
②若a=b≠0，函數f（x）的極小值是2a，極大值是-2a；
③若ab≠0，則函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線都不可能經過原點；
④當ab≠0時，函數y=f（x）圖象上任意一點的切線與直線y=ax及y軸所圍成的三角形的面積是定值．
其中正確的命題是

 

  （填上你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，可以判斷該函數是奇函數，由此說明；
對于②，當a＜0，b＞0時，f（x）=ax+

b

x

是單調函數，不滿足題意；
對于③可先用切點把切線方程表示出來，然后將（0，0）代入，只要是無解即可說明；
對于④先表示出任意一點處切線的方程，然后求出該切線與y=ax，y軸的交點，則三角形的三個交點可以求出，面積可求．

解答： 解：函數f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），
①函數的定義域為{x|x≠0}，f（-x）=-ax+

b

-x

=-(ax+

b

x

)=-f(x)，
∴不論a，b為什么值，函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，命題①正確；
②若a=b≠0，則f′(x)=a-

b

x2

=

ax2-b

x2

，
當a＜0，b＞0時，f′（x）＜0，函數f（x）無極值，命題②錯誤；
③若ab≠0，則f′(x)=a-

b

x2

=

ax2-b

x2

，
∴過函數y=f（x）的圖象上任意一點（x0，ax0+

b

x0

）的切線方程為y-ax0-

b

x0

=

ax02-b

x02

(x-x0)，
代入（0，0）得，-ax0-

b

x0

=-

ax02-b

x0

，即b=0，與ab≠0矛盾，
∴函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線都不可能經過原點，命題③正確；
④當ab≠0時，函數y=f（x）圖象上任意一點的切線方程為y-ax0-

b

x0

=

ax02-b

x02

(x-x0)，
與y=ax聯(lián)立得交點為（2x₀，2ax₀），令x=0得切線與y軸交點為（0，

2b

x0

），原點為（0，0），
∴圍成的三角形面積為

1

2

•

2b

x0

•2ax₀=2ab．
∴與直線y=ax及y軸所圍成的三角形的面積是定值．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題以命題為載體考查了導數在研究函數的極值、切線中的應用，有一定難度．