Question

（Ⅰ）在三角形ABC中，求a=2，c=

3

，cos

B

2

=

2 5

5

角形ABC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）由已知化簡(jiǎn)可求得：cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

＞0，即有0＜B＜

π

2

，可求得：sinB=

1-cos2B

=

4

5

，即可求得S=

1

2

acsinB的值．
（Ⅱ）由f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，可得f（x）=sin（x+

π

3

），根據(jù)x取值范圍，即可確定f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由已知化簡(jiǎn)可求得：cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

＞0，
所以0＜B＜

π

2

，
可求得：sinB=

1-cos2B

=

4

5

，
故有，S=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

3

×

4

5

=

4 3

5

．
（Ⅱ）∵f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1，

f(x)=sin( π 3 +x)，x∈[- π 3 ， 5 6 π]，x+ π 3 ∈[0， 7π 6 ] sin( π 3 +x)∈[- 1 2 ，1]，所以函數(shù)f(x)的值域是[- 1 2 ，1]

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)值域的解法，屬于基本知識(shí)的考查．