Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 2 t y= 2 t

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=

sinθ

1-sin2θ

．
（1）寫(xiě)出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；
（2）若點(diǎn) P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求 P到直線l的距離的最小值，并求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（1）可以先消參數(shù)，求出直線l的普通方程，再利用公式將曲線C的極坐標(biāo)方程化成平面直角坐標(biāo)方程，（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根據(jù)函數(shù)取最值的情況求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

x=1+ 2 t y= 2 t

，
∴x-y=1．
∴直線的極坐標(biāo)方程為：ρcosθ-ρsinθ=1．
即

2

ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)=1，
即

2

ρcos(θ+

π

4

)=1．
∵ρ=

sinθ

1-sin2θ

，
∴ρ=

sinθ

cos2θ

，
∴ρcos²θ=sinθ，
∴（ρcosθ）²=ρsinθ
即曲線C的普通方程為y=x²．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），
y0=x02，
∴P到直線的距離：
d=

|x0-y0-1|

2

=

|x0-x02-1|

2

=

|-(x0- 1 2 )2- 3 4 |

2

=

(x0- 1 2 )2+ 3 4

2

．
∴當(dāng)x0=

1

2

時(shí)，dmin=

3 2

8

，
∴此時(shí)P(

1

2

，

1

4

)，
∴當(dāng)P點(diǎn)為(

1

2

，

1

4

)時(shí)，P到直線的距離最小，最小值為

3 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．