已知橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1的上頂點(diǎn)為A，直線y=-4交橢圓E于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)P在橢圓E上．
（Ⅰ）求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程；
（Ⅱ）求以原點(diǎn)O為圓心，與直線AB相切的圓的方程；
（Ⅲ）若四邊形ABCP為梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出拋物線方程，由橢圓方程求得橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由橢圓方程求得上頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，把y=-4代入橢圓方程求出B，C的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，由原點(diǎn)O到直線AB的距離得到所求圓的半徑，則圓的方程可求；
（Ⅲ）由題意可知，要使四邊形ABCP為梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB，由此求出CP的方程，和橢圓聯(lián)立求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)此拋物線的方程為y2=2px，
由橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1，
得橢圓的右焦點(diǎn)為(5
3
，0)，
∴
p
2
=5
3
，即p=10
3
．
∴此拋物線的方程為y2=20
3
x；
（Ⅱ）由條件知：A（0，5），B（-6，-4），
∴kAB=
3
2
．
∴直線AB的方程：y=
3
2
x+5，即3x-2y+10=0．
∴O到直線AB的距離為
|10|
32+(-2)2
=
10
13
13
，即圓半徑r=
10
13
13
．
∴以原點(diǎn)O為圓心，與直線AB相切的圓的方程x2+y2=
100
13
；
（Ⅲ）要使四邊形ABCP為梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB，
∴kCP=kAB=
3
2
．
∴直線CP的方程為y+4=
3
2
(x-6)，即y=
3
2
x-13．
把y=
3
2
x-13代入
x2
100
+
y2
25
=1，得：5x2-78x+288=0．
解得：x=6或x=
48
5
．
∴P(
48
5
，
7
5
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了兩直線平行的條件，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m，n∈R，若直線（m-1）x+（n-1）y+2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（　�。�
A、[-2-2
2
，-2+2
2
]
B、[2-2
2
，2+2
2
]
C、(-∞，-2-2
2
]∪[-2+2
2
，+∞)
D、(-∞，2-2
2
]∪[2+2
2
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

復(fù)數(shù)z=
1-i
2+i
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�
A、（1，-3）
B、（
1
5
，-
3
5
）
C、（3，-3）
D、（
3
5
，-
3
5
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=
2
，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA1．
（Ⅰ）求證：CD=C1D；
（Ⅱ）求二面角A1-B1D-P的平面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=x+1，x＞0}，若A∩B≠∅，求m的取值范圍．

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如圖所示，ABCDEF是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，現(xiàn)從六個(gè)頂點(diǎn)任取三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，該三角形的面積S是一隨機(jī)變量．
（1）求S=
3
2
的概率；
（2）求S的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
1
2
（ax+a-x）（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，
41
9
）．判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|mx-1=0}，B={x∈Z|2x2+x≤0}，若A∩B=A，則滿足條件的實(shí)數(shù)m的值為
 
．

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已知雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)重合，且該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：
OP
=
OM
+2
ON
，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值，并求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；
（3）若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)M在x軸的射影為A，連接NA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，求證：以NB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M．

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