Question

已知向量

a

=（cosx+sinx，2cosx），

b

=（cosx-sinx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由向量的數(shù)量積運算及三角變換可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由題意求得2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答： 解：（I）∵f(x)=

a

•

b

=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2cosxsinx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（II）令t=2x+

π

4

，∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
即t∈[

π

3

，

3π

4

]，∴sint在t∈[

π

4

，

π

2

]上是增函數(shù)，在t∈[

π

2

，

3π

4

]上是減函數(shù)，
∴當t=

π

2

，即2x+

π

4

=

π

2

，x=

π

8

時，f(x)max=f(

π

8

)=

2

．
當t=

π

4

或

3π

4

，即x=0或

π

4

時，f(x)min=f(0)=f(

π

4

)=1．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算及三角函數(shù)在定區(qū)間上求最值等知識，屬于中檔題．