Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*），其前n項和為S_n，給出下列四個命題：
①若{a_n}是等差數(shù)列，則三點（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110，

S110

110

）共線；
②若{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則S₁、S₂、…、S_n這n個數(shù)中必然存在一個最大者；
③若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數(shù)列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則{a_n}是等比數(shù)列；
⑤若等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q是常數(shù)），且a₁=1，則數(shù)列{a_n²}的前n項和S_n=

1-q2n

1-q2

．
其中正確命題的序號是①④．（將你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、性質及其前n項和公式即可判斷出．

解答： 解：①若{a_n}是等差數(shù)列，可設Sn=An2+Bn，∴

Sn n - Sm m

n-m

=

A(n-m)

n-m

=A，因此三點（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110，

S110

110

）共線，正確；
②若{a_n}是等差數(shù)列，設公差為d，∵a₁=-11，a₃+a₇=-6，∴2a₁+8d=-6，即-22+8d=-6，解得d=2．∴a_n=-22+（n-1）2=2n-24，為單調遞增數(shù)列，
因此S₁、S₂、…、S_n這n個數(shù)中不存在一個最大者，因此不正確；
③若{a_n}是等比數(shù)列，當公比q=-1，且m為偶數(shù)時，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）不是等比數(shù)列，該命題錯誤；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則當n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n=a₁+qS_n-（a₁+qS_n-1）=qa_n，當n=1時，S₂=a₁+a₂=a₁+qS₁，可得a₂=a₁q．
綜上可得：a_n+1=qa_n對n∈N^*都成立，因此{a_n}是等比數(shù)列，正確；
⑤若等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q是常數(shù)），且a₁=1，則當q≠±1時，數(shù)列{a_n²}的前n項和S_n=

1-q2n

1-q2

，因此⑤不正確．
綜上可得：只有①④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、性質及其前n項和公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．