Question

過A（-2，0）作橢圓

x2

4

+y²=1的兩弦AB，AC，且k_AB•k_AC=1，則直線BC恒過定點(diǎn)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)BC：x=m+ty，代入x²+4y²-4=0，得：（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件求出BC的方程為x=-

10

3

+ty，所以直線BC恒過定點(diǎn)（-

10

3

，0）．

解答： 解：設(shè)BC：x=m+ty，代入x²+4y²-4=0，
并整理得：（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則

y1+y2=- 2mt t2+4 y1y2= m2-4 t2+4

，
k_AB•k_AC=

y1

x1+2

•

y1

x2+2

=1，
y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）
=（ty₁+m+2）（ty₂+m+2）
=t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2，
解得m=-

10

3

或m=-2（舍）．
∴BC的方程為x=-

10

3

+ty，
∴直線BC恒過定點(diǎn)（-

10

3

，0）．
故答案為：（-

10

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線恒過定點(diǎn)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．