Question

巳知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4

2

，且與橢圓

x2

2

+

y2

4

=1有相同的離心率．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與M有兩個交點A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2a=4

2

，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓M的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在圓C：x²+y²=r²（r＞0），若l的斜率不存在，設(shè)l：x=r，求出x2+y2=

8

3

，|AB|=

4 6

3

；若l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，代入橢圓M的方程，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此能求出圓C：x2+y2=

8

3

和|AB|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4

2

，
∴2a=4

2

，解得a=2

2

，
又∵橢圓M與橢圓

x2

2

+

y2

4

=1有相同的離心率，
∴e=

c

a

=

2

2

，解得c=2，∴b²=(2

2

)2-22=4，
∴橢圓M的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在圓C：x²+y²=r²（r＞0），
（i）若l的斜率不存在，設(shè)l：x=r，則A（r，y₀），B（r，-y₀），
由

OA

•

OB

=0，得到r2-y02=0，又

r2

8

+

y02

4

=1，
消去y₀，得到r2=

8

3

，∴x2+y2=

8

3

．
（ii）若l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，
∵l與C相切，∴r=

|m|

1+k2

，即m²=r²（1+k²），①
又將直線l方程代入橢圓M的方程．得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，
由

OA

•

OB

=0，得到x1x2+y1y2=(1+k2)•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m²=0，
化簡，得3m²=8+8k²，②
聯(lián)立①②得r2=

8

3

，
綜上所述，存在圓C：x2+y2=

8

3

，
由r2=

8

3

，得|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（

-4km

1+2k2

）²-4•

2m2-8

1+2k2

]
=

32

3

•

4k4+5k2+1

1+4k2+4k

=

32

3

(1+

k2

4k4+4k2+1

)
=

32

3

(1+

1

4k2+ 1 k2 +4

)，k≠0
∈（

12

3

，12]．
當(dāng)k=0時，|AB|2=

32

3

，∴|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]．
又當(dāng)k不存在時，|AB|=

4 6

3

，
∴|AB|的取值范圍是[

4 6

3

，2

3

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．