Question

已知（ax+2b）⁶的展開式中x³與x⁴的系數(shù)之比為4：3，其中a＞0，b≠0．
（1）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）令F（a，b）=

b3+16

a

，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）確定a=2b，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大即為系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求出F（a，b）=

b3+16

a

，利用基本不等式求F（a，b）的最小值．

解答： 解：設(shè)通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 6

(ax)6-r(2b)r=

C

r 6

a6-r(2b)rx6-r，則依題意：

C 3 6 a3(2b)3

C 2 6 a4(2b)2

=

4

3

從而得到：a=2b．                                                 （4分）
（1）展開式（ax+2b）⁶=a⁶（x+1）⁶的二項(xiàng)式系數(shù)最大即為系數(shù)最大．即T4=

C

3 6

a6x3=20a6x3（8分）
（2）由a=2b，得到：F(a，b)=

b3+16

a

=

b3+16

2b

=

1

2

(b2+

16

b

)=

1

2

(b2+

8

b

+

8

b

)≥

1

2

•3

3	b2• 8 b • 8 b

=6
當(dāng)且僅當(dāng)b2=

8

b

，即b=2時(shí)，取等號，所以F（a，b）的最小值為6．（14分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．