Question

包含甲在內(nèi)的甲、乙、丙3個(gè)人練習(xí)傳球，設(shè)傳球n次，每人每次只能傳一下，首先從甲手中傳出，第n次仍傳給甲，共有多少種不同的方法？為了解決上述問題，設(shè)傳球n次，第n次仍傳給甲的傳球方法種數(shù)為a_n；設(shè)傳球n次，第n次不傳給甲的傳球方法種數(shù)為b_n．根據(jù)以上假設(shè)回答下列問題：
（1）求出a₁，a₂，b₁的值；
（2）根據(jù)你的理解寫出a_n+1與b_n的關(guān)系式；
（3）求a₅的值及通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的演繹推理

專題：應(yīng)用題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）畫出樹狀圖，容易得出n=1時(shí)，球不在甲的手中a₁的值，同理求出a₂，b₁的值；
（2）通過樹狀圖，得a₁，a₂，a₃，a₄，…；b₁，b₂，b₃，…；歸納、猜想出a_n+1=b_n；
（3）經(jīng)過n次傳球后球回到甲手中的傳法有a_n種，經(jīng)過（n-1）次傳球后球回到甲手中的傳法有a_n-1種，
根據(jù)（n-1）次傳球一共有2^n-1次傳法，求得a_n和a_n-1的關(guān)系，從而求出a_n與a₅．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，做出樹狀圖，
當(dāng)n=1時(shí)，球不在甲的手中，∴a₁=0，
同理求出a₂=2，b₁=2；
（2）通過樹狀圖，得a₁=0，a₂=2，a₃=2，a₄=6，…；
b₁=2，b₂=2，b₃=6，…；
歸納、猜想，得出a_n+1=b_n；
（3）根據(jù)題意，做出樹狀圖，
注意第四次時(shí)，球不在甲那里；
分析可得，共有10種不同的傳遞方式；
∴a₅=10；
設(shè)經(jīng)過n次傳球后球回到甲手中的傳法有a_n種．
則經(jīng)過（n-1）次傳球后球回到甲手中的傳法有a_n-1種．
而（n-1）次傳球一共有2^n-1次傳法，
所以經(jīng)過（n-1）次傳球后球沒有回到甲手中的傳法有a_n=2^n-1-a_n-1，
∴a₂=2¹-a₁，a₃=2²-a₂=2²-2¹+a₁，…，
∴a_n=2^n-1-2^n-2+2^n-3-2^n-4+…，
∴a_n=

1

3

×2ⁿ+

2

3

×（-1）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用樹狀圖分析，解答，通過歸納、猜想，利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，是較難的題目．