Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=log₂（x+1）．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若f（a-2）-f（5-a）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)的解析式求得f（0）的值，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得f（-1）=f（1），再根據(jù)根據(jù)函數(shù)的解析式求得f（1）的值．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，可得 f（-x）=log₂（-x+1），再根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求得f（x）的解析式．綜合可得結(jié)論．
（3）由題意可得，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)．故由所給的不等式可得|a-2|＜|5-a|，平方后化簡求得a的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得f（0）=log₂（0+1）=0，f（-1）=f（1）=log₂（1+1）=1．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=log₂（-x+1）．
再根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得 f（x）=log₂（-x+1）．
綜上可得，f（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(-x+1)，x＜0

．
（3）由題意可得，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)．
∵f（a-2）-f（5-a）＜0，即 f（a-2）＜f（5-a），∴|a-2|＜|5-a|，平方后化簡求得a＜

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2

．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．