已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是線(xiàn)段AB、AD的中點(diǎn)，F、G分別是線(xiàn)段CB、CD上的點(diǎn)且==，求證：EF、GH、CA交于一點(diǎn)．

 

答案：
解析：

證明：如圖，連結(jié)BD．

∵EH是△ABD的中位線(xiàn)，

∴EHBD．

又∵==,

∴FGBD．∴EH∥FG且EH<FG．

∴四邊形EFGH是一個(gè)梯形．

設(shè)EF交GH于P點(diǎn)，

∵EF平面ABC，GH平面ACD，

∴P是平面ABC與平面ACD的公共點(diǎn)．

∴點(diǎn)P在兩平面的交線(xiàn)AC上，即EF、GH、CA三線(xiàn)交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：(1)空間四邊形常添加的輔助線(xiàn)是其對(duì)角線(xiàn)；(2)本例是先證EF與GH交于點(diǎn)P，再證P∈CA．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

17、如圖，已知四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥DC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某城市計(jì)劃在如圖所示的空地ABCD上豎一塊長(zhǎng)方形液晶廣告屏幕MNEF，宣傳該城市未來(lái)十年計(jì)劃、目標(biāo)等相關(guān)政策．已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為30m的正方形，電源在點(diǎn)P處，點(diǎn)P到邊AD、AB的距離分別為9m，3m，且MN～NE=16～9，線(xiàn)段MN必過(guò)點(diǎn)P，端點(diǎn)M、N分別在邊AD、AB上，設(shè)AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm2．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）若液晶屏每平米造價(jià)為1500元，當(dāng)x為何值時(shí)，液晶廣告屏幕MNEF的造價(jià)最低？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BD=2，AC與BD交于E點(diǎn)，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求多面體PABCF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2．
（1）求異面直線(xiàn)BC與GE所成的角的余弦值；
（2）求平面CBG與平面BGD的夾角的余弦值；
（3）求三棱錐D-GEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

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