Question

設(shè)集合A={x|log 

1

2

（3-x）≥-2}，B={x|

2a

x-a

＞1}．
（1）求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,交集及其運(yùn)算,其他不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將不等式

2a

x-a

＞1化為

3a-x

x-a

＞0，再轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-3a）＜0，對(duì)a分類(lèi)討論并分別求出解集B；
（2）先將原不等式化為：log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x的范圍，即求出集合A，根據(jù)（1）和A∩B≠∅，分類(lèi)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后要并在一起．

解答： 解：（1）由

2a

x-a

＞1得，

2a

x-a

-1＞0，即

3a-x

x-a

＞0，
所以（x-a）（x-3a）＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，則B={x|a＜x＜3a}；
當(dāng)a＜0時(shí)，則B={x|3a＜x＜a}；
當(dāng)a=0時(shí)，則B=∅；
（2）由log

1

2

（3-x）≥-2得，log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，
所以0＜3-x≤4，解得-1≤x＜3，
則集合A={x|-1≤x＜3}，
因?yàn)锳∩B≠∅，所以B≠∅，
當(dāng)a＞0時(shí)，B={x|a＜x＜3a}，所以0＜a＜3；
當(dāng)a＜0時(shí)，B={x|3a＜x＜a}，所以a＞-1，即-1＜a＜0；
綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)不等式、分式不等式的求法，需要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想．