Question

【題目】如圖,三棱柱中,,,平面平面，與相交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先菱形的性質(zhì)推出，然后利用面面垂直的性質(zhì)推出平面，從而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)使問(wèn)題得證；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，由此求得平面與平面法向量，從而利用空間夾角公式求解即可．

試題解析：（1）已知側(cè)面是菱形，是的中點(diǎn)，∵，∴．

∵平面平面，且平面，平面平面，

∴平面，.

（2）如圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，

∴，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，

由，,

得，可得

∵平面平面，，∴平面，

∴平面的一個(gè)法向量是,

∴，即二面角的余弦值是.