Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不論α，β為何實數(shù)，恒有f（cosα）≥0，f（2+sinβ）≤0．
（1）求證：b+c=-1；
（2）求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)cosα∈[-1，1]，2+sinβ∈[1，3]，結(jié)合條件可得f（1）≥0，且f（1）≤0，即 f（1）=0恒成立，從而證得結(jié)論．
（2）根據(jù)f（3）≤0，以及b+c+1=0，即得c≥3．

解答： （1）證明：∵cosα∈[-1，1]，2+sinβ∈[1，3]，
又∵f（cosα）≥0，f（2+sinβ）≤0恒成立．
∴f（1）≥0，且f（1）≤0，
即f（1）=0恒成立．
∴b+c=-1．
（2）解：∵由（1）得，f（3）≤0，
∴9+3b+c≤0，
∴9+3（-1-c）+c≤0，
∴c≥3．
則實數(shù)c的取值范圍是[3，+∞）．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．