Question

下列函數中，值域是（0，+∞）的函數是 ________．
（1）；（2） y=x²+x+1；（3）；（4）y=|log₂（x+1）|．

Answer 1

解：由題意：
（1）利用冪函數的性質可知函數在（-∞，0）上為增函數、在（0，+∞）上為減函數，所以函數的值域為（0，+∞）；
（2）配方得：，所以函數的值域為；
（3）對解析式進行變形得：進而即可分析其單調性為：在（-∞，-1）上為單調遞減函數，在（-1，+∞）上為單調遞減函數，所以函數的值域為：（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
（4）此函數為復合函數，首先函數y=log₂（x+1）的圖象可以看作是由函數y=log₂x的圖象向左平移1個單位得到，函數y=|log₂（x+1）|的圖象可以看作是由函數y=log₂（x+1）的圖象將x軸下方的部分關于x軸對稱后得到，所以函數的值域為：[0，+∞）．
故答案為：（1）．
分析：本題考查的是函數值域的求解問題．在解答時：（1）利用冪函數的性質即可判斷單調性；（2）先配方，通過研究開口和對稱軸即可獲得單調性；（3）對解析式進行變形得：進而即可分析其單調性；（4）此函數為復合函數，首先分析y=log₂（x+1）與函數y=log₂x的關系，然后再加絕對值，即將x軸下方的關于x軸對稱，進而即可獲得函數的單調性．在逐一獲得函數的單調性后即可在定義域上求的函數的最值，進而問題即可獲得解答．
點評：本題考查的是函數值域的求解問題．在解答的過程當中充分體現了冪函數的性質、二次函數的性質、解析式的變形以及復合函數單調性的分析．值得同學們體會和反思．