已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點P,F(xiàn)是雙曲線的右焦點.
(1)求證:PF⊥l;
(2)若|PF|=3,且雙曲線的離心率e=
5
4
,求該雙曲線方程;
(3)延長FP交雙曲線左準(zhǔn)線l1和左支分別為點M、N,若M為PN的中點,求雙曲線的離心率.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題,雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)右準(zhǔn)線l2為x=
a2
c
,設(shè)漸近線l為y=
b
a
x,則kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b
,kl=
b
a
,由此能證明PF⊥l.
(2)由已知得
|bc|
a2+b2
=3,從而b=3,又e=
c
a
=
5
4
,由此能求出雙曲線方程.
(3)PF為:y=-
a
b
(x-c),由
y=-
a
b
(x-c)
x=-
a2
c
,得M(-
a2
c
,
a(a2+c2)
bc
)
N(-
3a2
c
,
a(3a2+c2)
bc
)
,由N在雙曲線上,能求出雙曲線的離心率.
解答: (1)證明:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l2為x=
a2
c
,
由對稱性不妨設(shè)漸近線l為y=
b
a
x,
則P(
a2
c
,
ab
c
),又F(c,0),
kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b
,(2分)
又∵kl=
b
a
,∴kPF•kl=-
a
b
b
a
=-1,
∴PF⊥l.(4分)
(2)解:∵|PF|的長即F(c,0)到l:bx-ay=0的距離,
|bc|
a2+b2
=3,即b=3,(6分)
e=
c
a
=
5
4
,
a2+b2
a2
=
25
16
,∴a=4,
故雙曲線方程為
x2
16
-
y2
9
=1.(8分)
(3)解:PF的方程為:y=-
a
b
(x-c),
y=-
a
b
(x-c)
x=-
a2
c
,得M(-
a2
c
,
a(a2+c2)
bc
)
,(9分)
∵M是PN的中點
N(-
3a2
c
,
a(3a2+c2)
bc
)
,(10分)
∵N在雙曲線上,
9a2
c2
-
a2
c2
(
3a2+c2
b2
)2=1
,
9
e2
-
1
e2
(
e2+3
e2-1
)2=1
,
令t=e2,則t2-10t+25=0,∴t=5,即e=
5
.(12分)
點評:本題考查直線垂直的證明,考查雙曲線方程的求法,考查雙曲線的離心率的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

二項式(2x-
1
x
6的展開式中的常數(shù)項是(  )
A、20B、-20
C、160D、-160

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定積分
π
2
-
π
2
cos2xdx等于( 。
A、
π-2
4
B、
π-1
2
C、
π-1
4
D、
π
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果命題“¬(p∨q)”為假命題,則( 。
A、p、q均為假命題
B、p、q均為真命題
C、p、q中至少有一個為假命題
D、p、q中至少有一個為真命題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)y=lg
2-x
2+x
+
1-2x
1+2x
+a在[-1,1]上有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若P(x0,y0)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1外,過P做橢圓的兩條切線切點為P1,P2,求切點弦P1P2所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,A(-
3
,
1
2
)為橢圓上一點,且AF1⊥x軸.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知命題:“已知M是橢圓C上異于左右頂點A1,A2的一點,直線MA1,MA2分別交直線l:x=m(m為常數(shù))于不同兩點P,Q,點N在直線l上,若直線MN與橢圓C有且只有一個公共點M,則N為線段PQ的中點”,試寫出此命題的逆命題,判斷所寫命題的真假,若為真命題,請你給出證明;若為假命題,請說明理由;
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)研究的結(jié)果,類似地,請你寫出雙曲線中的一個命題(不需證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

點M、N分別是△OAB的邊OA、OB上的點,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
(1)若M、N分別是OA、OB的中點,線段AN與BM的交點為P,試用
a
,
b
表示
OP

(2)若|
OM
|:|
OA
|=1:4,|
ON
|:|
OB
|=1:5,線段AN與BM交于點Q,試用
a
,
b
表示
OQ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的長軸的一個端點為A(2,0),離心率為
2
2
.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點B、D
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在這樣的直線,使得△ABD的面積為
10
3
,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.

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同步練習(xí)冊答案