已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的長軸的一個端點為A(2,0),離心率為
2
2
.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點B、D
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在這樣的直線,使得△ABD的面積為
10
3
,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知得
a=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
2
=1
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,由此利用橢圓弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積結(jié)合已知條件能求出直線方程.
解答: 解:(1)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的長軸的一個端點為A(2,0),離心率為
2
2
,
a=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
,解得a=2,c=
2
,b=
2
,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(2)聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
2
=1
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,
△>0,設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),
x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-4
2k2+1

A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=
|2k-k|
k2+1
=
|k|
k2+1
,
∵△ABD的面積為
10
3
,
1
2
×
|k|
k2+1
×
k2+1
×
(
4k2
2k2+1
)2-4×
2k2-4
2k2+1
=
10
3
,
整理,得7k4-2k2-5=0,
解得k=±1.
∴直線方程為y=±(x-1).
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時要注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P,F(xiàn)是雙曲線的右焦點.
(1)求證:PF⊥l;
(2)若|PF|=3,且雙曲線的離心率e=
5
4
,求該雙曲線方程;
(3)延長FP交雙曲線左準線l1和左支分別為點M、N,若M為PN的中點,求雙曲線的離心率.

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己知A(-1,0),B(1,0),△ABC為邊長為2的等邊三角形,過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數(shù)k.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)斜率為
1
2
的直線L與曲線E交于M,N兩點,與y軸交于Q點,且滿足QM=aQA,(a<0),求a的值.

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已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x,x≤0
2f(x-1),x>0
,若函數(shù)f(x)=3x+a有且只有一個解,求a的取值范圍?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,且經(jīng)過點A(-1,-
3
2
).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)如果斜率為
1
2
的直線EF與橢圓交于兩個不同的點E、F,試判斷直線AE、AF的斜率之和是否為定值,若是請求出此定值;若不是,請說明理由.
(3)試求三角形AEF面積S取得最大值時,直線EF的方程.

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(2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求ξ的分布列.

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討論關(guān)于x的方程:x2+a=0的根的個數(shù).

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設(shè)等比數(shù)列{an}中,公比q≠1,Sn=a1+a2+…+an,Tn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an

(1)用a1,q,n表示
Sn
Tn
;
(2)若-
3S1
T1
,
S3
T3
,
S5
T5
成等差數(shù)列,求q;
(3)在(2)的條件下,設(shè)a1=1,Rn=
1
a1
+
2
a3
+…+
n
a2n-1
,求證:Rn
9
4

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如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上的一個動點.若
OC
=x
OA
+y
OB
,則x+4y的取值范圍是
 

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