Question

己知A（-1，0），B（1，0），△ABC為邊長為2的等邊三角形，過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數k．
（1）求曲線E的方程；
（2）設斜率為

1

2

的直線L與曲線E交于M，N兩點，與y軸交于Q點，且滿足QM=aQA，（a＜0），求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出曲線E是以A（-1，0），B（1，0）為焦點，以4為長軸的橢圓，由此能求出曲線E的方程．
（2）設直線L的方程為y=

1

2

x+m，聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得4x²+4mx+4m²-12=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），在y=

1

2

x+m中，令x=0，得Q（0，m），由

QM

=a

QA

，得M（-a，m-ma），由此能求出a．

解答： 解：（1）∵A（-1，0），B（1，0），△ABC為邊長為2的等邊三角形，
過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數k，
∴曲線E是以A（-1，0），B（1，0）為焦點，以4為長軸的橢圓，
∴曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設直線L的方程為y=

1

2

x+m，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-64m²+192＞0，-2＜m＜2，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
在y=

1

2

x+m中，令x=0，得Q（0，m），
∵

QM

=a

QA

，∴（x₁，y₁-m）=a（-1，-m）=（-a，-am），
∴

x1=-a y1=m-am

，∴M（-a，m-ma），
∴m-ma=-

1

2

a+m，解得m=

1

2

，
∴M（-a，

1

2

-

1

2

a），
∴

a2

4

+

( 1 2 - 1 2 a)2

3

=1，
解得a=

1-3 5

4

或a=

1+3 5

4

（舍），
∴a=

1-3 5

4

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．