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己知A(-1,0),B(1,0),△ABC為邊長為2的等邊三角形,過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數k.
(1)求曲線E的方程;
(2)設斜率為
1
2
的直線L與曲線E交于M,N兩點,與y軸交于Q點,且滿足QM=aQA,(a<0),求a的值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知條件推導出曲線E是以A(-1,0),B(1,0)為焦點,以4為長軸的橢圓,由此能求出曲線E的方程.
(2)設直線L的方程為y=
1
2
x+m
,聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+m
,得4x2+4mx+4m2-12=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),在y=
1
2
x+m
中,令x=0,得Q(0,m),由
QM
=a
QA
,得M(-a,m-ma),由此能求出a.
解答: 解:(1)∵A(-1,0),B(1,0),△ABC為邊長為2的等邊三角形,
過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數k,
∴曲線E是以A(-1,0),B(1,0)為焦點,以4為長軸的橢圓,
∴曲線E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設直線L的方程為y=
1
2
x+m
,
聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+m
,得4x2+4mx+4m2-12=0,
△=16m2-64m2+192>0,-2<m<2,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-m,x1x2=m2-3
在y=
1
2
x+m
中,令x=0,得Q(0,m),
QM
=a
QA
,∴(x1,y1-m)=a(-1,-m)=(-a,-am),
x1=-a
y1=m-am
,∴M(-a,m-ma),
∴m-ma=-
1
2
a+m
,解得m=
1
2

∴M(-a,
1
2
-
1
2
a
),
a2
4
+
(
1
2
-
1
2
a)2
3
=1
,
解得a=
1-3
5
4
或a=
1+3
5
4
(舍),
∴a=
1-3
5
4
點評:本題考查曲線方程的求法,考查實數值的求法,解題時要認真審題,注意函數與方程思想的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

定積分
π
2
-
π
2
cos2xdx等于( 。
A、
π-2
4
B、
π-1
2
C、
π-1
4
D、
π
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點分別為F1,F2,A(-
3
,
1
2
)為橢圓上一點,且AF1⊥x軸.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知命題:“已知M是橢圓C上異于左右頂點A1,A2的一點,直線MA1,MA2分別交直線l:x=m(m為常數)于不同兩點P,Q,點N在直線l上,若直線MN與橢圓C有且只有一個公共點M,則N為線段PQ的中點”,試寫出此命題的逆命題,判斷所寫命題的真假,若為真命題,請你給出證明;若為假命題,請說明理由;
(Ⅲ)根據(Ⅱ)研究的結果,類似地,請你寫出雙曲線中的一個命題(不需證明).

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科目:高中數學 來源: 題型:

點M、N分別是△OAB的邊OA、OB上的點,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
(1)若M、N分別是OA、OB的中點,線段AN與BM的交點為P,試用
a
b
表示
OP
;
(2)若|
OM
|:|
OA
|=1:4,|
ON
|:|
OB
|=1:5,線段AN與BM交于點Q,試用
a
b
表示
OQ

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓心為C的圓(x-1)2+y2=6內有點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A,B兩點.  
(1)當l經過圓心C時,求直線l的方程;
(2)當弦AB被點P平分時,求直線l的方程. 
(3)當△ACB的面積為
5
時,求直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若方程組
y2=4a(x+a)
x+y+m=0
(a>0,m>0)有兩組不同的解為(x1,y1),(x2,y2),求a,m滿足的條件.

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科目:高中數學 來源: 題型:

為了調查甲、乙兩種品牌商品的市場認可度,在某購物網點隨機選取了14天,統(tǒng)計在某確定時間段的銷量,得如圖所示的統(tǒng)計圖,根據統(tǒng)計圖求:
(1)甲、乙兩種品牌商品銷量的中位數分別是多少?
(2)甲品牌商品銷量在[20,50]間的頻率是多少?
(3)甲、乙兩個品牌商品哪個更受歡迎?并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的長軸的一個端點為A(2,0),離心率為
2
2
.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點B、D
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在這樣的直線,使得△ABD的面積為
10
3
,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.
(1)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?
(2)從這些畫中任選出兩幅不同畫種的畫布置房間,有幾種不同的選法?

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