Question

已知圓心為C的圓（x-1）²+y²=6內(nèi)有點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A，B兩點．  
（1）當l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；
（2）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程． 
（3）當△ACB的面積為

5

時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）由條件利用兩點式求得直線l的方程，化簡可得結果．
（2）由CP和直線l垂直，求得直線l的斜率，再用點斜式求得直線l的方程．
（3）若直線l的斜率不存在，檢驗滿足△ACB的面積為

5

．若直線l的斜率k存在，用點斜式設出直線l的方程，由△ACB的面積為

5

，求得sin∠ACB=

5

3

，cosACB=

2

3

，由余弦定理求得弦長AB，可得得弦心距d=

2

．再利用點到直線的距離公式求得d，可得k的值，從而求得要求的直線l的方程．

解答： 解：（1）由于直線l經(jīng)過定點P（2，2），當l經(jīng)過圓心C（1，0）時，
由兩點式求得直線l的方程為

y-0

2-0

=

x-1

2-1

，即 2x-y-2=0．
（2）當弦AB被點P平分時，CP和直線l垂直，故直線l的斜率為

-1

KCP

=

-1

2-0 2-1

=-

1

2

，
用點斜式求得直線l的方程為 y-2=-

1

2

（x-2），即 x+2y-6=0．
（3）當△ACB的面積為

5

時，若直線l的斜率不存在，方程為x=2，代入圓的方程求得y=±

5

，
此時AB=2

5

，圓心C到直線l的距離為1，滿足△ACB的面積為

5

．
若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0．
由于△ACB的面積為

1

2

•r•r•sin∠ACB=

1

2

×6×sin∠ACB=

5

，∴sin∠ACB=

5

3

，故cosACB=

2

3

，
由余弦定理可得AB²=r²+r²-2r•r•cosACB=6+6-12×

2

3

=4，
再由弦長公式求得弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

2

．
再利用點到直線的距離公式可得 d=

|k-0+2-2k|

k2+1

=

2

，求得k=-2+

6

，或k=-2-

6

，
故要求的直線l的方程為 （

6

-2）x-y+6-2

6

=0，或 （

6

+2）x+y-2

6

-6=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．