已知圓心為C的圓(x-1)2+y2=6內(nèi)有點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A,B兩點.  
(1)當l經(jīng)過圓心C時,求直線l的方程;
(2)當弦AB被點P平分時,求直線l的方程. 
(3)當△ACB的面積為
5
時,求直線l的方程.
考點:直線與圓的位置關系
專題:直線與圓
分析:(1)由條件利用兩點式求得直線l的方程,化簡可得結果.
(2)由CP和直線l垂直,求得直線l的斜率,再用點斜式求得直線l的方程.
(3)若直線l的斜率不存在,檢驗滿足△ACB的面積為
5
.若直線l的斜率k存在,用點斜式設出直線l的方程,由△ACB的面積為
5
,求得sin∠ACB=
5
3
,cosACB=
2
3
,由余弦定理求得弦長AB,可得得弦心距d=
2
.再利用點到直線的距離公式求得d,可得k的值,從而求得要求的直線l的方程.
解答: 解:(1)由于直線l經(jīng)過定點P(2,2),當l經(jīng)過圓心C(1,0)時,
由兩點式求得直線l的方程為
y-0
2-0
=
x-1
2-1
,即 2x-y-2=0.
(2)當弦AB被點P平分時,CP和直線l垂直,故直線l的斜率為
-1
KCP
=
-1
2-0
2-1
=-
1
2
,
用點斜式求得直線l的方程為 y-2=-
1
2
(x-2),即 x+2y-6=0.
(3)當△ACB的面積為
5
時,若直線l的斜率不存在,方程為x=2,代入圓的方程求得y=±
5

此時AB=2
5
,圓心C到直線l的距離為1,滿足△ACB的面積為
5

若直線l的斜率存在,設直線l的方程為y-2=k(x-2),即 kx-y+2-2k=0.
由于△ACB的面積為
1
2
•r•r•sin∠ACB=
1
2
×6×sin∠ACB=
5
,∴sin∠ACB=
5
3
,故cosACB=
2
3

由余弦定理可得AB2=r2+r2-2r•r•cosACB=6+6-12×
2
3
=4,
再由弦長公式求得弦心距d=
r2-(
AB
2
)
2
=
2

再利用點到直線的距離公式可得 d=
|k-0+2-2k|
k2+1
=
2
,求得k=-2+
6
,或k=-2-
6
,
故要求的直線l的方程為 (
6
-2)x-y+6-2
6
=0,或 (
6
+2)x+y-2
6
-6=0.
點評:本題主要考查直線和圓的位置關系,點到直線的距離公式,弦長公式的應用,體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知O為銳角△ABC的外心,AB=6,AC=4,若
AO
=x
AB
+y
AC
,且x+4y=2,則cos∠BAC=(  )
A、
1
6
B、-
1
3
C、-
1
4
D、
1
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

是否存在實數(shù)a,b使得關于n的等式12+22+32+…+n2=
n(an+1)(bn+1)
6
,n∈N*成立?若存在,求出a,b的值并證明等式,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

雙曲線C與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1有相同的焦點,直線y=x是雙曲線C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知過點P(0,1)的直線?與雙曲線C交于A、B兩點,若
OA
OB
=-3,求直線?的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
25
+
y2
9
=1,以及圓O:x2+y2=9,自橢圓上一點P,作圓O的兩條切線,切點為M,N,直線MN在x軸與y軸的截距分別為a,b.
(1)若點P在第一象限且橫坐標為4,求過點M,N,P的圓的方程;
(2)對于異于橢圓上頂點的任意點P,代數(shù)式
9
a2
+
25
b2
的值是否都恒為常數(shù),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

己知A(-1,0),B(1,0),△ABC為邊長為2的等邊三角形,過C點的曲線E上任意一點P均使|PA|+|PB|為同一常數(shù)k.
(1)求曲線E的方程;
(2)設斜率為
1
2
的直線L與曲線E交于M,N兩點,與y軸交于Q點,且滿足QM=aQA,(a<0),求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設曲線y=
x+1
x-1
在點(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
1
2
,且經(jīng)過點A(-1,-
3
2
).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)如果斜率為
1
2
的直線EF與橢圓交于兩個不同的點E、F,試判斷直線AE、AF的斜率之和是否為定值,若是請求出此定值;若不是,請說明理由.
(3)試求三角形AEF面積S取得最大值時,直線EF的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
2
3
,且過點(3
3
,
5
),點A、B分別是橢圓C 長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)設M是直角三角PAF的外接圓圓心,求橢圓C上的點到點M的距離d的最小值.

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